L'arrivée prochaine des oraux des concours aux grandes écoles d'ingénieurs invite à tester les IA pour accompagner les élèves des CPGE dans leur préparation.
Voici un exercice récolté sur LinkedIn (Post, Tru Do-Khac, LinkedIN).
Énoncé
Trouver toutes les fonctions réelles continues sur R telles que
f(x+y) = f(x) + f(y) + xy
Résolution de ChatGPT (compte personnel gratuit)
Résolution de ChatGPT (compte personnel gratuit )
Éléments de résolution
Lemme 1 : f(0) = 0
on prend x= y = 0 , f(0) = 2 f(0), donc f(0) = 0
CQFD
Lemme 2 : si f est dérivable sur R, alors f(x) = x f'(0) + ½ x²
On dérive par rapport à x.
f'(x+y) = f'(x) + y
Pour x = 0 on a
f'(y) = f'(0) + y .
On intègre par rapport à y.
f(y) = y f'(0) + ½ y²+ k
Lemme 1 implique k = 0
CQFD
Lemme 3 : si f est continue en 0 alors f est continue sur R
f est continue en 0 et lemme 1 implique que f(h) tend vers 0 dans h tend vers 0.
f (x + h ) - f(x) = f(h) + xh ;
f (x + h ) - f(x) existe quand h tend vers 0 et c'est 0.
CQFD
Lemme 4 : si f est dérivable en 0 alors f est dérivable sur R et f'(x) = x + f'(0)
f est dérivable en 0 et le lemme 1 implique que la limite de f(h) / h existe. On la note f'(0)
f(x + h) - f(x) = f(h) + xh
c'est à dire pour h ≠ 0
[f(x + h) - f(x)] / h = f(h) / h + x ;
[f(x + h) - f(x)] / h a une limite et c'est f'(0) + x
CQFD
Lemme 5 : les fonctions continues sur R vérifiant f(x+y) = f(x) + f(y) sont [exactement] les fonctions linéaires.
(exercice de cours)
Question bonus
Peut-on construire une fonction continue sur R qui vérifie
i. f(x+y) = f(x) + f(y) + xy
ii. ne soit pas dérivable en 0 ?
Question ENS
Peut-on construire une fonction définie sur R qui vérifie
i. f(x+y) = f(x) + f(y) + xy
ii. ne soit pas continue en 0 ?
Lemme 1 : f(0) = 0
on prend x= y = 0 , f(0) = 2 f(0), donc f(0) = 0
CQFD
Lemme 2 : si f est dérivable sur R, alors f(x) = x f'(0) + ½ x²
On dérive par rapport à x.
f'(x+y) = f'(x) + y
Pour x = 0 on a
f'(y) = f'(0) + y .
On intègre par rapport à y.
f(y) = y f'(0) + ½ y²+ k
Lemme 1 implique k = 0
CQFD
Lemme 3 : si f est continue en 0 alors f est continue sur R
f est continue en 0 et lemme 1 implique que f(h) tend vers 0 dans h tend vers 0.
f (x + h ) - f(x) = f(h) + xh ;
f (x + h ) - f(x) existe quand h tend vers 0 et c'est 0.
CQFD
Lemme 4 : si f est dérivable en 0 alors f est dérivable sur R et f'(x) = x + f'(0)
f est dérivable en 0 et le lemme 1 implique que la limite de f(h) / h existe. On la note f'(0)
f(x + h) - f(x) = f(h) + xh
c'est à dire pour h ≠ 0
[f(x + h) - f(x)] / h = f(h) / h + x ;
[f(x + h) - f(x)] / h a une limite et c'est f'(0) + x
CQFD
Lemme 5 : les fonctions continues sur R vérifiant f(x+y) = f(x) + f(y) sont [exactement] les fonctions linéaires.
(exercice de cours)
Question bonus
Peut-on construire une fonction continue sur R qui vérifie
i. f(x+y) = f(x) + f(y) + xy
ii. ne soit pas dérivable en 0 ?
Question ENS
Peut-on construire une fonction définie sur R qui vérifie
i. f(x+y) = f(x) + f(y) + xy
ii. ne soit pas continue en 0 ?
Hommage à mes professeur.e.s de mathématiques
La résolution de la question ENS passe par l'axiome du choix / lemme de Zorn, parfois abordé en Maths Sup [a].
[a] Hommage à mes professeurs de mathématiques, de 1C (Mlle Minois) à spé M' (Claude Deschamps) , Le sens et le goût des maths au collège, avril 2024
La résolution de la question ENS passe par l'axiome du choix / lemme de Zorn, parfois abordé en Maths Sup [a].
[a] Hommage à mes professeurs de mathématiques, de 1C (Mlle Minois) à spé M' (Claude Deschamps) , Le sens et le goût des maths au collège, avril 2024
"Enseignement explicite"
Les lemmes peuvent être des ressources pour une démarche pédagogique désignée par "Enseignement explicite".
Un portail sur l'Enseignement explicite, par l'académie de Paris, Le sens et le goût des maths au collège [jan 2024]
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Prestations : robustesse didactique des app IA en maths
Assurer la robustesse didactique des app d'apprentissage des mathématiques à l'école, collège, et lycée en khôllant vos IA avec les pratiques d'un khôlleur de mathématiques des classes préparatoires aux grandes écoles d'ingénieurs des lycées Louis-Le-Grand et Henri IV des années 80.
Contact : tru.do-khac@do-khac.com
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Contact : tru.do-khac@do-khac.com
